Introduction to riemannian geometry

MATH-422 / 5 credits

Teacher:

Language: French

Remarque: pas donné en 2024-25

Résumé

La géométrie riemannienne est un (peut-être le) chapitre central de la géométrie différentielle et de la géométriec ontemporaine en général. Le sujet est très riche et ce cours est une modeste introduction aux bases du sujet.

Contenu

  • Variétés riemanniennes, définition.

  • Exemples importants de variétés riemanniennes.

  • Longueur des courbes et distances.

  • Volume.

  • Géodésiques et connexion.

  • Transport parallèle et holonomie

  • Application exponentielle, lemme de Gauss

  • Complétude, théorème de Hopf-Rinow.

  • Tenseur de courbure et courbure sectionnelle.

  • Champs de Jacobi

  • Hypersurfaces et seconde forme fondamentale.

  • Influence de la courbure sur la topologie.

 

Mots-clés

Métrique riemannienne, géodésiques, courbure, connexions.

Compétences requises

Cours prérequis obligatoires

Introduction aux variétés différentiables

Analyse III-IV,

Topologie

Cours prérequis indicatifs

Homologie et Cohomologie

Concepts importants à maîtriser

  • Comprendre les notions de bases de la géométrie riemannienne.

  • Décrire des exemples simples de variétés riemanniennes.

  • Prouver des théorèmes de géométrie riemannienne locale ou globale

Acquis de formation

A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:

  • Prouver les théorème étudier au cours.
  • Synthétiser les concepts du cours
  • Enoncer les définitions et résultats du cours

Compétences transversales

  • Auto-évaluer son niveau de compétence acquise et planifier ses prochains objectifs d'apprentissage.
  • Comparer l'état des réalisations avec le plan et l'adapter en conséquence.
  • Gérer ses priorités.

Méthode d'enseignement

Cours ex-cathédra avec séances d'exercices obligatoires.

Un mini-projet sera aussi demandé.

Travail attendu

  • Ce cours demande un investissement important. Les participants au cours devront compléter le matériel couvert par des lectures et participer activement aux exercices. Y compris en corrigeant parfois des exercices au tableau noir.

Méthode d'évaluation

Examen oral.

Dans le cas de l'art. 3 al. 5 du Règlement de section, l¿'enseignant décide de la forme de l'examen qu'il communique aux étudiants concernés.

Encadrement

Office hours Non
Assistants Oui
Forum électronique Non

Ressources

Service de cours virtuels (VDI)

Non

Bibliographie

Deux livres de base sur le sujet sont :

• Lee, John M.Riemannian manifolds. An introduction to curvature.Graduate Texts in Mathematics, 176.Springer-Verlag, New York, 1997.

• do Carmo, ManfredoRiemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

Une bibliographie plus complète sera donnée sur moodle.

Ressources en bibliothèque

Polycopiés

Oui

Liens Moodle

Préparation pour

Tout cours avancé en géométrie différentielle (e.g. géométrie hyperbolique), dynamique.

Relativité et cosmologie.

In the programs

  • Semester: Spring
  • Exam form: Oral (summer session)
  • Subject examined: Introduction to riemannian geometry
  • Courses: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Type: optional
  • Semester: Spring
  • Exam form: Oral (summer session)
  • Subject examined: Introduction to riemannian geometry
  • Courses: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Type: optional
  • Semester: Spring
  • Exam form: Oral (summer session)
  • Subject examined: Introduction to riemannian geometry
  • Courses: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Type: optional

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