Algèbre III - anneaux et corps

Concepts fondamentaux, constructions et théorèmes :

• Anneaux, sous-anneaux, homomorphismes d'anneaux
• Exemples d'anneaux
• Anneaux intègres, corps des fractions
• Idéaux, anneaux quotients et leurs propriétés universelles, caractéristique d'un anneau, opérations sur les idéaux, théorèmes de correspondance, produit d'anneaux, théorème des restes chinois
• Idéaux premiers et maximaux

Arithmétique dans les anneaux

• Anneaux euclidiens
• Anneaux principaux
• Éléments associés, premiers et irréductibles
• Anneaux factoriels
• Anneaux noethériens
• Caractérisation de la factorialité
• Lemme et théorème de Gauss
• Critères d'irréductibilité

Théorie des corps :

• Algèbres sur un corps
• Extensions de corps, éléments algébriques et transcendants, degré d'une extension de corps, extensions algébriques, construction des extensions simples, corps de décomposition
• Corps finis
• Extensions séparables, théorème de l'élément primitif
• Théorie de Galois
• Extensions purement inséparables, décomposition séparable-inséparable
• Corps algébriquement clos, clôture séparable, clôture inséparable