Algèbre III - anneaux et corps

Notions, constructions et théorèmes fondamentaux :

• anneaux, sous-anneaux, homomorphismes d'anneaux
• examples d'anneaux
• anneaux intègres, corps des fractions
• idéaux, anneaux quotients et ses porpriétés universelles, la caractéristique d'un anneau, opérations sur les idéaux, théorèmes de correspondence, produit d'anneaux, le théorème de restes chinois
• idéaux premiers et maximaux

Arithmétique dans les anneaux :

• anneaux euclidiens
• anneaux principaux
• éléments associés, premiers et irréductibles
• anneaux factoriels
• anneaux noethériens
• caractérisation d'être factoriel
• les lemmes et le théorème de Gauss
• critères d'irréductibilité

Théorie de corps :

• algèbres sur un corps
• extensions de corps, éléments algébriques et transcendants, le degré d'une extension de corps, extensions algébriques, construction des extensions simples
• corps de décompositions
• corps finis
• extensions séparables, théorème de l'élément primitif
• la théorie de Galois
• extensions purement inséparable, séparable-inséparable décomposition
• corps algébriquement clos, clotûre séparable, clotûre inséparable