Mathematical logic

MATH-381 / 5 credits

Teacher: Duparc Jacques

Language: French

Résumé

Branche des mathématiques en lien avec le fondement des mathématiques et l'informatique théorique. Le cours est centré sur la logique du 1er ordre et l'articulation entre syntaxe et sémantique.

Contenu

Eléments de théorie naïve des ensembles. Bons ordres, nombres ordinaux et cardinaux. Axiome du Choix, Lemme de Zorn et Théorème de Zermelo.


Logique du 1er ordre :


- Syntaxe : langage, formule et arbres de décomposition, variable libre vs liée, formule close, substitution.


- Sémantique : structure et réalisation, sous-structure et restriction. Homomorphisme et isomorphisme. Interprétation et satisfaction. Jeux d'évaluation. Equivalence universelle et conséquence sémantique. Théorie, modèle et consistance. Système complet de connecteur, formes normales prénexes et forme de Skolem. Eléments de théorie des modèles. Ultrapuissance et ultraprodruits. Théorème de compacité et modèles non standard.


- Théorie de la démonstration : systèmes de Hilbert, déduction naturelle et calcul des séquents. Logique classique vs logique intuitionniste vs logique minimale. Elimination des coupures et propriété de la sous-formule. Théorème de complétude de la logique classique (Gödel). Modèles de Kripke et théorème de complétude de la logique intuitionniste.

 

Mots-clés

Logique mathématique, logique du 1er ordre, syntaxe, sémantique, modèle,  démonstration, fondement des mathématiques, conséquence, consistance, contradiction, théorie, formule, conncecteur, terme, langage, complétude.

Acquis de formation

A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:

  • Evaluer une formule dans un modèle
  • Formuler une hypothèse
  • Interpréter une théorie
  • Prouver de manière syntaxique
  • Théoriser un concept mathématique
  • Justifier les conséquences sémantique
  • Construire des modèles
  • Concevoir des démonstrations

Méthode d'enseignement

Cours ex cathedra et exercices

Travail attendu

  • Participation aux cours
  • Résolution des exercices

Méthode d'évaluation

Ecrit : 3 heures. Dans le cas de l'art. 3 al. 5 du Règlement de section, l'enseignant décide de la forme de l'examen qu'il communique aux étudiants concernés.

Encadrement

Office hours Oui
Assistants Oui
Forum électronique Oui

Ressources

Service de cours virtuels (VDI)

Non

Bibliographie

  • Polycopié distribué en cours

 

  • Introduction générale à la logique mathématique :
  1. René Cori, Daniel Lascar: Introduction à la logique mathématique, vol. 1 et 2, Dunod, 2003
  2. Karim Nour, René David, Christophe Raffalli, et Pierre-Louis Curien: Introduction à la logique : Théorie de la démonstration, Dunod, 2004
  3. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas: Mathematical Logic, Springer, 1996
  4. Wolfgang Rautenberg: A concise introduction to mathematical logic, Springer, 2006
  5. Yu. I. Manin: A course in mathematical logic, Springer, 1977
  6. Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, AK Peters, 2001
  7. Elliott Mendelson: Introduction to mathematical logic (4th edition), Chapman & Hall/CRC 1997
  8. George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey: Computability and Logic (5th edition), Cambridge 2007
  9. Herbert B. Enderton : A mathematical introduction to logic (2nd edittion), 2000
  10. Jon Barwise: Handbook of mathematical logic, North-Holland, 1982
  • Théorie des ensembles :
  1. Thomas Jech: Set theory, Springer 2006
  2. Kenneth Kunen: Set theory, Spirnger, 1983
  3. Jean-Louis Krivine: Theory des ensembles, 2007
  4. Patrick Dehornoy: Logique et théorie des ensembles; Notes de cours, FIMFA ENS: http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html
  5. Yiannis Moschovakis: Notes on set theory, Springer 2006
  6. Karel Hrbacek and Thomas Jech: Introduction to Set theory, (3d edition), 1999
  • Théorie des modèles :
  1. Bruno Poizat: Cours de Théorie des Modèles. Nur alMantiq walMa'arifah, Villeurbanne, 1985
  2. Wilfrid Hodges: A shorter model theory, Cambridge 1999
  3. Wilfrid Hodges: Model theory, Cambridge, 2008
  4. David Marker : Model theory, an introduction, 2002
  5. Philipp Rothmaler: Introduction to model theory, 2000
  • Théorie de la récursion :
  1. Piergiorgio Odifreddi: Classical recursion theory, vol. 1 and 2, Springer, 1999
  2. Robert I. Soare: Recursively Enumerable Sets and Degres, A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets, Springer-Verlag 1987
  3. Nigel Cutland: Computability, an introduction to recursive function theory, 1980
  4. Raymond M. Smullyan: recursion theory for methamathematics, Oxford, 1993
  • Théorie de la démonstration :
  1. Wolfram Pohlers: Proof Theory, the first step into impredicativity, Springer, 2008
  2. A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg, and Anne S. Troelstra: Basic proof theory, Cambridge, 2000
  3. S.R. Buss: Handbook of proof theory, Springer, 1998
  • Résultats de Gödel :
  1. Raymond M. Smullyan: Gödel's incompleteness theorems, Oxford, 1992
  2. Peter Smith: An introduction to Gödel's theorems, Cambridge,  2008
  3. Torkel Franzen: Inexhaustibility, a non exhaustive treatment, AK Peteres, 2002
  4. Melvin Fitting: Incompleteness in the land of sets, King's College, 2007
  5. Torkel Franzen: Gödel's theorem: an incomplete guide to its use and abuse, AK Peters, 2005

Ressources en bibliothèque

Polycopiés

Distribué pendant le cours.

Liens Moodle

Préparation pour

  • MATH-318 Set Theory
  • MATH-483 Gödel and Recursivity

In the programs

  • Semester: Fall
  • Exam form: Written (winter session)
  • Subject examined: Mathematical logic
  • Lecture: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
  • Type: optional

Reference week

Monday, 13h - 15h: Lecture CM1221

Monday, 15h - 17h: Exercise, TP CM1221

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