Differential geometry

Courbes dans le plan et l'espace euclidien.

• Courbes implicites et paramétrées, paramétrisation d'une courbe donnée, divers exemples et constructions. Champs de vecteurs le long d'une courbe, repères mobiles.
• Longueur d'une courbe, paramétrisation naturelle.
• Courbure, torsion et leur interprétation géométrique, équations de Serret-Frenet.
• Constructions de courbes telles que les (épi)cycloïdes, enveloppes, développées et développantes etc.
• Quelques résultats globaux : l'inégalité isopérimétrique dans le plan, le théorème des quatre sommets, estimation du diamètre pour les courbes de courbure monotone.

Norions de bases surfaces

• La notion de sous-variété de R^n, cartes, paramétrisation locale, espace tangent.
• Le tenseur métrique (première forme fondamentale) d'une surface paramétrée et sa signification géométrique : aire, angles, longueur des courbes sur une surface.
• Paramétrisations spéciales : conformes, équivalente ou projectives. Application à la géométrie de la sphère (cartes stéréographiques et cartes de Mercator). Trigonométrie sphérique.
• Application de Gauss et courbure des surfaces : courbures normales, courbures principales, courbures moyennes et gaussiennes. La deuxième forme fondamentale.
• Points elliptiques/hyperboliques/paraboliques/plats/ombilques sur une surface.
• Loi de Laplace Young et surfaces minimales.
• Courbes sur les surfaces, courbure normale et géodésique, géodésiques.
• Surfaces réglées.
• Surfaces isométriques. Le théorème Egregium de Gauss.
• Quelques résultats globaux tels que le théorème d'Hadamard sur les ovaloïdes et le théorème de Hilbert sur les surfaces à courbure négative constante.

Notions de géométrie hyperbolique

• Surfaces dans l'espace de Lorentz-Minkowski.
• Différents modèles du plan hyperbolique, quelques rudiments de géométrie hyperbolique.
• Relation avec la géométrie de Lobatchevskii, l'histoire du cinquième postulat.