Functional analysis I
Résumé
Concepts de base de l'analyse fonctionnelle linéaire: opérateurs bornés, opérateurs compacts, théorie spectrale pour les opérateurs symétriques et compacts, le théorème de Hahn-Banach, les théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.
Contenu
- Espaces vectoriels normés, préhilbertiens, de Banach et de Hilbert, exemples
- Opérateurs linéaires, bornés, compacts, symétriques, et leurs propriétés
- Théorie spectrale des opérateurs compacts et symétriques
- Application au problème de Sturm-Liouville
- Fonctionnelles linéaires, théorème de Hahn-Banach, limites de Banach, convergence faible
- Théorèmes de Banach-Steinhaus, de l'application ouverte et du graphe fermé
Compétences requises
Cours prérequis obligatoires
Algèbre linéaire, Espaces métriques et topologiques, Analyse III et IV destinés aux mathématiciens
Concepts importants à maîtriser
Topologie: espaces topologiques, continuité dans les espaces topologiques, espaces métriques, convergence dans les espaces métriques, espaces métriques complets, compacité séquentielle
Théorie de la mesure dans la droite réelle: espaces L^p
Acquis de formation
- Démontrer sa maîtrise des énoncés et concepts (définitions, propositions, théorèmes, etc).
- Exposer concepts et preuves par écrit et par oral. Rédaction et présentation de solutions.
- Reconnaitre quels concepts et résultats pourraient être utilisés dans un context nouveau. Adapter la théorie à des exemples nouveaux.
Méthode d'enseignement
Cours et exercices.
Méthode d'évaluation
Examen écrit.
Dans le cas de l'art. 3 al. 5 du Règlement de section, l'enseignant décide de la forme de l'examen qu'il communique aux étudiants concernés.
Ressources
Bibliographie
E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
Elements of Functional Analysis, I. J. Maddox, Cambridge Univ. Press.
H. Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Dunod.
A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications.
Ressources en bibliothèque
- Elements of Functional Analysis / Maddox
- Introductory Functional Analysis with Applications / Kreyszig
- Foundations of Modern Analysis / Friedman
- Analyse fonctionnelle : théorie et applications / Brezis
Liens Moodle
Préparation pour
Cours avancés d'analyse, d'analyse numérique et de probabilités, Analyse Fonctionnelle II
In the programs
- Semester: Fall
- Exam form: Written (winter session)
- Subject examined: Functional analysis I
- Lecture: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Type: optional