Algebra III - rings and fields
Résumé
C'est un cours introductoire dans la théorie d'anneau et de corps.
Contenu
Notions, constructions et théorèmes fondamentaux :
- anneaux, sous-anneaux, homomorphismes d'anneaux
- examples d'anneaux
- anneaux intègres, corps des fractions
- idéaux, anneaux quotients et ses porpriétés universelles, la caractéristique d'un anneau, opérations sur les idéaux, théorèmes de correspondence, produit d'anneaux, le théorème de restes chinois
- idéaux premiers et maximaux
Arithmétique dans les anneaux :
- anneaux euclidiens
- anneaux principaux
- éléments associés, premiers et irréductibles
- anneaux factoriels
- anneaux noethériens
- caractérisation d'être factoriel
- les lemmes et le théorème de Gauss
- critères d'irréductibilité
Théorie de corps :
- algèbres sur un corps
- extensions de corps, éléments algébriques et transcendants, le degré d'une extension de corps, extensions algébriques, construction des extensions simples
- corps de décompositions
- corps finis
- extensions séparables, théorème de l'élément primitif
- la théorie de Galois
- extensions purement inséparable, séparable-inséparable décomposition
- corps algébriquement clos, clotûre séparable, clotûre inséparable
Compétences requises
Cours prérequis indicatifs
- Structures algébriques
- Algèbre linéaire I et II
- Theorie des groupes
Méthode d'enseignement
Cours ex cathedra + exercices
Méthode d'évaluation
Examen final écrit.
Préparation pour
Cours de 3e année
In the programs
- Semester: Spring
- Exam form: Written (summer session)
- Subject examined: Algebra III - rings and fields
- Courses: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Type: mandatory