Méthodes de discrétisation en fluides
Résumé
Ce cours présente une introduction aux méthodes d'approximation utilisées pour la simulation numérique en mécanique des fluides. Les concepts fondamentaux sont présentés dans le cadre de la méthode des différences finies puis étendus à celles des éléments finis et spectraux.
Contenu
Le cours s'ouvre sur une présentation des éléments théoriques de base concernant les équations aux dérivés partielles (adimensionalisation, linéarisation, classification mathématique).
Après une présentation unifiée des méthodes d'approximation classiques, la méthode des différences finies est utilisée de manière à illustrer les concepts fondamentaux liés à la discrétisation des équations aux dérivées partielles.
Puis, à partir de problèmes simplifiés, mono-dimensionnels, stationnaires et instationnaires, les équations sont progressivement enrichies pour aboutir au traitement de problèmes multi-dimensionnels, à plusieurs variables, et finalement à celui des équations de Navier--Stokes avec la méthode des éléments finis et spectaux.
Les méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques (linéaires et non-linéaires) sont présentées en mettant l'accent sur leurs conditions d'applicabilité et leur complexité algorithmique.
Les laboratoires basés sur des exercices en Matlab permettent d'illustrer l'ensemble des concepts théoriques, ainsi que de comprendre l'implémentation et l'utilisation des algorithmes présentés. Ils servent aussi de base indispensable pour la réalisation du mini-projet.
Mots-clés
Simulation numérique, mécanique des fluides, équations aux dérivées partielles, méthode des différences finies, méthode des volumes finis, méthode des éléments finis
Compétences requises
Cours prérequis obligatoires
- Mécanique des milieux continus
- Analyse et analyse numérique
- Algèbre linéaire
Cours prérequis indicatifs
- Mécanique des fluides
Concepts importants à maîtriser
Analyse vectorielle
Equations aux dérivées partielles
Algèbre linéaire de base (y compris calcul de vecteurs et valeurs propres)
Acquis de formation
A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:
- Identifier et appliquer les différentes étapes dans la simulation numérique (par ex. génération de géométrie et de maillage, calcul, post-traitement) et intégrer tous les concepts de base essentiels dans la simulation numérique d'un écoulement, AH18
- Evaluer la précision numérique des résultats en fonction des choix des paramètres de simulation, AH20
- Analyser des solutions numériques et identifier les inconsistances par rapport à la réalité physique; comprendre et appliquer les concepts de la vérification et de la validation, AH21
- Décrire les différentes méthodes utilisées pour la discrétisation des équations différentielles, telles que différences finies, éléments finis, volumes finis, lattice Boltzmann, SPH, AH22
- Intégrer les bases de la programmation; développer un logiciel (simple) structuré en utilisant un langage/environnement de programmation tel que C, Fortran ou Matlab, AH25
- Effectuer une simulation numérique avec des logiciels appropriés ; comprendre les limitations de chaque logiciel en termes de champ d'application et de précision des résultats, AH26
Compétences transversales
- Utiliser les outils informatiques courants ainsi que ceux spécifiques à leur discipline.
- Faire une présentation orale.
- Ecrire un rapport scientifique ou technique.
Méthode d'enseignement
Cours ex-cathedra, exercices écrits, laboratoires en Matlab, mini-projets
Méthode d'évaluation
Examen final (écrit) : 80%
Contrôle continu (examen pratique) : 20%
Encadrement
| Office hours | Oui |
| Assistants | Oui |
| Forum électronique | Oui |
Ressources
Bibliographie
- Dynamique des fluides, I. Ryhming, PPUR, 1991
- Methods of Mathematical Physics, R. Courant, D. Hilbert, Wiley
- Numerical approximation of partial differential equations, A. Quarteroni and A. Valli, Springer, 1997
- Méthodes numériques pour le calcul scientifique, A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Springer, 2000
- Iterative methods for sparse linear systems, Y. Saad, PWS, 1996
- High-order methods for incompressible fluid flow, M.O. Deville, P.F. Fischer, E.H. Mund, Cambridge University Press, 2002
- Modélisation numérique en science et génie des matériaux, M. Rappaz, M. Bellet, M. Deville, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 1999
- Eléments finis pour les fluides incompressibles, M. Azaiez, M. Deville, E. Mund, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2011
Ressources en bibliothèque
- Numerical approximation of partial differential equations, A. Quarteroni and A. Valli
- Dynamique des fluides, I. Ryhming
- Modélisation numérique en science et génie des matériaux, M. Rappaz, M. Bellet, M. Deville
- Eléments finis pour les fluides incompressibles, M. Azaiez, M. Deville, E. Mund
- High-order methods for incompressible fluid flow, M.O. Deville, P.F. Fischer, E.H. Mund
- Methods of Mathematical Physics, R. Courant, D. Hilbert
- Iterative methods for sparse linear systems, Y. Saad
- Méthodes numériques pour le calcul scientifique, A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri
Liens Moodle
Préparation pour
- Numerical flow simulation
- Instability
- Turbulence
Dans les plans d'études
- Semestre: Printemps
- Forme de l'examen: Ecrit (session d'été)
- Matière examinée: Méthodes de discrétisation en fluides
- Cours: 2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
- Exercices: 1 Heure(s) hebdo x 14 semaines
- Semestre: Printemps
- Forme de l'examen: Ecrit (session d'été)
- Matière examinée: Méthodes de discrétisation en fluides
- Cours: 2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
- Exercices: 1 Heure(s) hebdo x 14 semaines