Topology I - point set topology
Résumé
Nous verrons d'abord comment la notion de continuité pour des applications entre espaces euclidiens se généralise aux applications entre espaces métriques. Nous étudierons ensuite en profondeur l'axiomatisation élégante et puissante de ces notions au cadre des espaces topologiques.
Contenu
1. Espaces métriques
(a) Rappels du cours Analyse avancée II
(b) Exemples et propriétés d'espaces métriques
(c) Continuité
2. L'axiomatique de la topologie
(a) Notions fondamentales
i. Topologies, bases, et sous-bases
ii. Autour de la notion de fermé
iii. Applications continues
iv. Sous-espaces topologiques
v. Compacité
(b) Espaces produit
(c) Le théorème de Tychonoff
3. Notions de séparabilité
(a) Espaces de Hausdorff
(b) Espaces réguliers
(c) Espaces normaux
(d) Le lemme et le théorème de métrisation d'Urysohn
4. Autour de la notion de "connexe"
(a) Espaces connexes
(b) Espaces connexes par arcs
(c) Composantes
(d) Versions locales
5. Espaces quotient
Mots-clés
Espace topologique, continuité, compacité, espace connexe (par arcs), séparabilité, espace quotient
Compétences requises
Cours prérequis obligatoires
Analyse avancée II
Concepts importants à maîtriser
Continuité d'applications entre espaces euclidiens
Acquis de formation
A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:
- Donner un exemple d'espace métrique différent de R^n
- Donner un exemple d'espace topologique non-métrique
- Démontrer la continuité d'une application entre espaces topologiques
- Expliquer la motivation de la définition de la topologie produit
- Expliquer la motivation de la définition de la topogie de sous-espace
- Exploiter la notion de compacité pour démontrer des propriétés utiles d'applications continues
- Comparer les différents niveaux de séparabilité
- Construire des espaces quotient
Compétences transversales
- Utiliser une méthodologie de travail appropriée, organiser un/son travail.
- Evaluer sa propre performance dans le groupe, recevoir du feedback et y répondre de manière appropriée.
- Donner du feedback (une critique) de manière appropriée.
- Auto-évaluer son niveau de compétence acquise et planifier ses prochains objectifs d'apprentissage.
- Faire preuve d'esprit critique
- Faire preuve d'inventivité
Méthode d'enseignement
Ex cathedra interactive
Travail en groupe lors des séances d'exercices
Apprentissage et utilisation d'un assistant de preuve (Lean)
Méthode d'évaluation
Exercices à rendre facultatifs (par groupe)
Examen écrit
Ressources
Bibliographie
James R. Munkres, Topology (Second Edition), Prentice Hall, 2000.
Ressources en bibliothèque
Liens Moodle
Préparation pour
Topologie II
Cours de mathématiques fondamentales en BA5/6 et au niveau master
In the programs
- Semester: Fall
- Exam form: Written (winter session)
- Subject examined: Topology I - point set topology
- Courses: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Exercises: 2 Hour(s) per week x 14 weeks
- Type: mandatory