Coursebooks

Functional analysis I

MATH-302

Lecturer(s) :

Buffoni Boris

Language:

Français

Résumé

Concepts de base de l'analyse fonctionnelle linéaire: opérateurs bornés, opérateurs compacts, théorie spectrale pour les opérateurs symétriques et compacts, le théorème de Hahn-Banach, les théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.

Contenu

- Espaces vectoriels normés, préhilbertiens, de Banach et de Hilbert, exemples
- Opérateurs linéaires, bornés, compacts, symétriques
- Théorie spectrale des opérateurs compacts et symétriques
- Application au problème de Sturm-Liouville
- Fonctionnelles linéaires, théorème de Hahn-Banach, limites de Banach, convergence faible
- Théorèmes de Banach-Steinhaus, de l'application ouverte et du graphe fermé

Compétences requises

Cours prérequis obligatoires

Algèbre linéaire, Espaces métriques et topologiques, Analyse III et IV destinés aux mathématiciens

 

 

Concepts importants à maîtriser

Topologie: espaces topologiques, continuité dans les espaces topologiques, espaces métriques, convergence dans les espaces métriques, espaces métriques complets, compacité séquentielle

Théorie de la mesure dans la droite réelle: espaces L^p

Acquis de formation

• Démontrer sa maîtrise des énoncés (définitions, propositions, théorèmes, etc)
• Déceler l'usage et le rôle des hypothèses
• Déceler l'usage et le rôle des lemmes et théorèmes dans une preuve
• Reconnaitre quels concepts et résultats pourraient être utilisés dans un context donné
• Exposer concepts et preuves par écrit
• Appliquer la théorie à des exemples particuliers
• Implémenter un argument

Méthode d'enseignement

Cours ex cathedra et exercices en salle

Méthode d'évaluation

Examen écrit.

Dans le cas de l'art. 3 al. 5 du Règlement de section, l'enseignant décide de la forme de l'examen qu'il communique aux étudiants concernés.

Ressources

Bibliographie

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
Elements of Functional Analysis, I. J. Maddox, Cambridge Univ. Press.
H. Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Dunod.
A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications.

Ressources en bibliothèque

• Elements of Functional Analysis / Maddox
• Analyse fonctionnelle : théorie et applications / Brezis
• Foundations of Modern Analysis / Friedman
• Introductory FunctionalAnalysis with Applications / Kreyszig

Préparation pour

Cours avancés d'analyse et de probabilités, Analyse Fonctionnelle II