Fiches de cours 2017-2018

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Théorie de Galois

MATH-317

Enseignant(s) :

Michel Philippe

Langue:

Français

Résumé

Ce cours est un introduction à la théorie de Galois qui est l'étude des symétries des ensembles de racines de polynômes. C'est une théorie essentielle pour de nombreux domaines des mathématiques: théorie des nombres, géometrie algébrique, topologie...

Contenu

Nombres constructibles à la règle et au compas, équations résolubles par radicaux, nombres algébriques, transcendants.

Rappels sur les extensions de corps, algébriques, transcendantes, normales, séparables, algébriquement closes. Algèbres étales

Groupes d'automorphismes d'extensions algébriques (Groupes de Galois); correspondance (de Galois) entre sous-extension et sous-groupes.

Elements de théorie des groupes; groupes quotient, normaux; action d'un groupe sur un ensemble; groupe symétrique.

Théorie de Galois des corps finis; théorie de Kummer; théorie d'Artin-Schreier; méthodes de calcul de groupes de Galois

Applications: Corps cyclotomiques. Construction de polygônes réguliers; critère de Gauss-Wantzel. Critère d'Abel. Théorème de spécialisation; théorème d'irréductibilité de Hilbert.

Mots-clés

Polynômes; Corps; Extension algébriques; Groupe; Groupe de Galois.

Compétences requises

Cours prérequis obligatoires

Algèbre linéaire avancée I & II

Algèbre I & II

Acquis de formation

A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:

Méthode d'enseignement

Cours ex-cathedra et exercices

Travail attendu

Etre capable de comprendre et de rédiger correctement l'ensemble des exercices proposés

Méthode d'évaluation

Examen écrit pour la premiere tentative

En cas de seconde tentative, la forme de l'examen sera decidée ultérieurement et communiquée aux étudiants concernés.

Dans le cas de l'art. 3 al. 5 du Règlement de section, l'enseignant décide de la forme de l'examen qu'il communique aux étudiants concernés.

Encadrement

Office hours Non
Assistants Oui

Ressources

Bibliographie

Algèbre corporelle, Antoine Chambert-Loir Les Éditions de l'École Polytechnique

Références suggérées par la bibliothèque

Préparation pour

Tout cours de mathématiques avancées dans les domaines de l'algèbre, de la théorie des nombres, de la géométrie algébrique, de la théorie des groupes, de la topologie.

Dans les plans d'études

  • Mathématiques, 2017-2018, Bachelor semestre 5
    • Semestre
      Automne
    • Forme de l'examen
      Ecrit
    • Crédits
      5
    • Matière examinée
      Théorie de Galois
    • Cours
      2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
    • Exercices
      2 Heure(s) hebdo x 14 semaines

Semaine de référence

LuMaMeJeVe
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20-21
21-22
Cours
Exercice, TP
Projet, autre

légende

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