Fiches de cours

Set theory

Duparc Jacques

English

Remarque

Cours donné en alternance tous les deux ans (donné en 2018-19)

Summary

Set Theory as a foundational system for mathematics. Relative consistency of the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis.

Content

Set Theory: ZFC. Extensionality and Comprehension. Relations, functions, and well-ordering. Ordinals. Class and transfinite recursion. Cardinals. Well-founded relations, Axiom of foundation, induction, and von Neumann's hierarchy. Relativization, absoluteness, reflection theorems. Gödel's constructible universe L. Axiom of Choice, and Continuum Hypothesis inside L. Po-sets, filters and generic extensions. Forcing. ZFC in generic extensions. Cohen Forcing. Independence of the Continuum Hypothesis. HOD and the Axiom of Choice: independence of the Axiom of Choice.

Keywords

Set Theory, Relative consistency, ZFC, Ordinals, Cardinals, Transfinite recursion, Relativization, Absoluteness, Constructible universe, L, Axiom of Choice, Continuum hypothesis, Forcing, Generic extensions

Learning Prerequisites

Recommended courses

Mathematical logic (or any equivalent course on first order logic). Warning: without a good understanding of first order logic, students tend to get lost sooner orl later.

Important concepts to start the course

• 1st order logic
• basics of proof theory
• Basics of model theory
• Compacity theorem
• Löwenheim-Skolem
• Completeness theorem

Learning Outcomes

By the end of the course, the student must be able to:
• Specify a model of ZFC
• Prove consistency results
• Develop a generic extension
• Argue by transfinite induction
• Decide whether ZFC proves its own consistency
• Formalize the axioms of ZF, AC, CH, DC
• Sketch an inner model
• Justify the axiom of foundation

Teaching methods

Ex cathedra lecture and exercises

Expected student activities

• Attendance at lectures
• Solve the exercises

Assessment methods

• Writen exam (3 hours)
• Dans le cas de l¿art. 3 al. 5 du Règlement de section, l¿enseignant décide de la forme de l¿examen qu¿il communique aux étudiants concernés

Supervision

 Office hours Yes Assistants Yes Forum Yes

Resources

Bibliography

1. Thomas Jech: Set theory, Springer 2006
2. Kenneth Kunen: Set theory, Springer, 1983
3. Jean-Louis Krivine: Theorie des ensembles, 2007
4. Patrick Dehornoy: Logique et théorie des ensembles; Notes de cours, FIMFA ENS: http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html
5. Yiannis Moschovakis: Notes on set theory, Springer 2006
6. Karel Hrbacek and Thomas Jech: Introduction to Set theory, (3d edition), 1999

Dans les plans d'études

• Informatique, 2018-2019, Master semestre 2
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Ingénierie mathématique, 2018-2019, Master semestre 2
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Ingénierie mathématique, 2018-2019, Master semestre 4
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Mathématiques - master, 2018-2019, Master semestre 2
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Mathématiques pour l'enseignement, 2018-2019, Master semestre 2
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Mathématiques pour l'enseignement, 2018-2019, Master semestre 4
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Systèmes de communication - master, 2018-2019, Master semestre 2
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Systèmes de communication - master, 2018-2019, Master semestre 4
• Semestre
Printemps
• Forme de l'examen
Ecrit
• Crédits
5
• Matière examinée
Set theory
• Cours
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
• Exercices
2 Heure(s) hebdo x 14 semaines

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21-22
En construction
Cours
Exercice, TP
Projet, autre

légende

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