Fiches de cours 2016-2017

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Logique mathématique

MATH-381

Enseignant(s) :

Duparc Jacques

Langue:

Français

Résumé

Branche des mathématiques en lien avec le fondement des mathématiques et l'informatique théorique. Le cours est centré sur la logique du 1er ordre et l'articulation entre syntaxe et sémantique.

Contenu

Eléments de théorie naïve des ensembles. Ordinaux et cardinaux. Axiome du Choix, Lemme de Zorn et Théorème de Zermelo.
Calcul des Prédicats :
- Syntaxe : langage, formule et arbres de décomposition, variable libre vs liée, formule close, substitution.
- Sémantique : structure et réalisation, sous-structure et restriction. Homomorphisme et isomorphisme. Interprétation et satisfaction. Jeu d'évaluation. Equivalence universelle et conséquence sémantique. Théorie, modèle et consistance. Système complet de connecteur, formes normales prénexes et forme de Skolem. Eléments de théorie des modèles. Théorème de compacité et modèle non standard.
- Théorie de la démonstration : systèmes de Hilbert. Déduction naturelle et Calcul des Séquents. Logique classique vs logique intuitionniste. Elimination des coupures et propriété de la sous-formule. Théorème de complétude de la logique classique (Gödel). Modèle de Kripke et théorème de complétude de la logique intuitionniste.
Eléments de théorie des modèles. Ultrapuissance et ultraprodruits.

Mots-clés

Logique mathématique, logique du 1er ordre, syntaxe, sémantique, modèle, démonstration, fondement des mathématiques, conséquence, consistance, contradiction, théorie, formule, conncecteur, terme, langage, complétude.

Compétences requises

Cours prérequis indicatifs

Obligatoire pour IN/SC : Analyse III, Physique générale I, Physique générale II et Probabilités et statistique

Obligatoire : Analyse III, Physique générale I, Physique générale II, Probability and statistics

Acquis de formation

A la fin de ce cours l'étudiant doit être capable de:

Méthode d'enseignement

Cours ex cathedra et exercices

Travail attendu

Méthode d'évaluation

Ecrit : 3 heures

Encadrement

Office hours Oui
Assistants Oui
Forum électronique Oui

Ressources

Bibliographie

  1. René Cori, Daniel Lascar: Introduction à la logique mathématique, vol. 1 et 2, Dunod, 2003
  2. Karim Nour, René David, Christophe Raffalli, et Pierre-Louis Curien: Introduction à la logique : Théorie de la démonstration, Dunod, 2004
  3. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas: Mathematical Logic, Springer, 1996
  4. Wolfgang Rautenberg: A concise introduction to mathematical logic, Springer, 2006
  5. Yu. I. Manin: A course in mathematical logic, Springer, 1977
  6. Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, AK Peters, 2001
  7. Elliott Mendelson: Introduction to mathematical logic (4th edition), Chapman & Hall/CRC 1997
  8. George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey: Computability and Logic (5th edition), Cambridge 2007
  9. Herbert B. Enderton : A mathemtical introduction to logic (2nd edittion), 2000
  10. Jon Barwise: Handbook of mathematical logic, North-Holland, 1982
  1. Thomas Jech: Set theory, Springer 2006
  2. Kenneth Kunen: Set theory, Spirnger, 1983
  3. Jean-Louis Krivine: Theory des ensembles, 2007
  4. Patrick Dehornoy: Logique et théorie des ensembles; Notes de cours, FIMFA ENS: http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html
  5. Yiannis Moschovakis: Notes on set theory, Springer 2006
  6. Karel Hrbacek and Thomas Jech: Introduction to Set theory, (3d edition), 1999
  1. Bruno Poizat: Cours de Théorie des Modèles. Nur alMantiq walMa'arifah, Villeurbanne, 1985
  2. Wilfrid Hodges: A shorter model theory, Cambridge 1999
  3. Wilfrid Hodges: Model theory, Cambridge, 2008
  4. David Marker : Model theory, an introduction, 2002
  5. Philipp Rothmaler: Introduction to model theory, 2000
  1. Piergiorgio Odifreddi: Classical recursion theory, vol. 1 and 2, Springer, 1999
  2. Robert I. Soare: Recursively Enumerable Sets and Degres, A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets, Springer-Verlag 1987
  3. Nigel Cutland: Computability, an introduction to recursive function theory, 1980
  4. Raymond M. Smullyan: recursion theory for methamathematics, Oxford, 1993
  1. Wolfram Pohlers: Proof Theory, the first step into impredicativity, Springer, 2008
  2. A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg, and Anne S. Troelstra: Basic proof theory, Cambridge, 2000
  3. S.R. Buss: Handbook of proof theory, Springer, 1998
  1. Raymond M. Smullyan: Gödel's incompleteness theorems, Oxford, 1992
  2. Peter Smith: An introduction to Gödel's theorems, Cambridge, 2008
  3. Torkel Franzen: Inexhaustibility, a non exhaustive treatment, AK Peteres, 2002
  4. Melvin Fitting: Incompleteness in the land of sets, King's College, 2007
  5. Torkel Franzen: Gödel's theorem: an incomplete guide to its use and abuse, AK Peters, 2005

Ressources en bibliothèque
Polycopiés

Distribué pendant le cours.

Sites web

Préparation pour

Dans les plans d'études

  • Mathématiques, 2016-2017, Bachelor semestre 5
    • Semestre
      Automne
    • Forme de l'examen
      Ecrit
    • Crédits
      5
    • Matière examinée
      Logique mathématique
    • Cours
      2 Heure(s) hebdo x 14 semaines
    • Exercices
      2 Heure(s) hebdo x 14 semaines

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