Fiches de cours 2016-2017

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Introduction à la théorie algébrique des nombres

MATH-312

Enseignant(s) :

Michel Philippe

Langue:

Français

Résumé

La theorie algébrique des nombres est l'etude des proprietes des racines des equations polynomiales en une variable a coefficients entiers. Partant de problèmes concrets, nous introduisons des notions plus générales : corps de nombres, entiers algébriques, unites, groupes des classes d'idéaux...

Contenu

• La loi de réciprocité quadratique
• Sommes de carrés
• Corps de nombres et anneaux d'entiers
• Décomposition des idéaux
• Groupes de classes d'idéaux
• groupe des unités
• Le cas des corps quadratiques
• Le cas des corps cyclotomiques
• Premières approches du théorème de Fermat
• Courbes elliptiques et nombres congruents
• Courbes elliptiques et théorème de Fermat

Compétences requises

Cours prérequis obligatoires

Cours d'algèbre de 2ème année

Cours prérequis indicatifs

Théorie de Galois

Acquis de formation

• Coordonner l'ensemble des techniques necessaire à la maitrise de la theorie algebrique des nombres
• Résoudre des problèmes avancés d'arithmétique

Méthode d'enseignement

Cours ex cathedra et exercices

Travail attendu

De part sa nature, la théorie algébrique des nombres combine des techniques provenant de plusieurs domaines (algebre lineaire, algebre commutative, analyse, geometrie). Il est indispensable d'avoir une bonne maitrise de chacun d'eux. On attend une présence active aux séances de cours et surtout aux séances d'exercices. On demandera notamment aux étudiants de venir presenter leurs solutions au tableau.

Méthode d'évaluation

Examen écrit

Encadrement

Office hours	Non
Assistants	Oui
Forum électronique	Non

Ressources

Bibliographie

Samuel : Théorie algébrique des nombres.

Ressources en bibliothèque

• Théorie algébrique des nombres / Samuel

Polycopiés

Le cours et les exercices seront mis en ligne sur moodle

Préparation pour

Théorie algébrique des nombres, cryptographie, codes algébriques, Topics in number theory; accesoirement c'est un prerequis pour resoudre la conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer et recevoir un des Millenium Prizes (1M USD) de la Clay Mathematics Institute.